Егор Тесленко родился в городе Гулькевичи Краснодарского края. В 12 лет успешно прошел просмотр в Резерве ФК «Кубань» и был зачислен в команду 2001 года, которую в то время тренировал Игорь Викторович Калешин. С 2017 года стал привлекаться к тренировкам с молодежным составом «Кубани», и вскоре был внесен в заявку команды в Профессиональной футбольной лиге. С сезона-2017/2018 стал основным игроком «Кубани-2». В июле 2018 года получил приглашение в ФК «Урожай».