Астемир Абазов родился в Нальчике. Футболом начал заниматься в спортивной секции общеобразовательной школы, после чего перешел в структуру местного «Спартака». С красно-белыми подписал свой первый профессиональный контракт. Затем в карьере Астемира были майкопская «Дружба» и «Ангушт», за которые защитник играл на правах аренды. Сезон-2018/2019 начал в родном «Спартаке», но вскоре перешел в «Урожай».