Амур Калмыков родился в городе Баксан. В специализированной футбольной школе форвард не учился, а сразу стал играть за баксанскую городскую команду на Первенство Кабардино-Балкарской республики. Оттуда его пригласили в Чемпионат Краснодарского края, в ФК «Кубанская корона», представляющий Тбилисский район Кубани. Став главным бомбардиром Высшей лиги Края, Калмыков получил приглашение в ФК «Афипс». В ПФЛ нападающий также проявил снайперские способности и сразу же попал в Премьер-лигу, где выступал за «Анжи». По окончании сезона 2017-2018 годов пополнил стан «Урожая».